Class 10 Maths Chapter 2 Polynomial Exercise 2.3 NCERT Solutions in Hindi Medium
बहुपद Ganit NCERT Solutions in Hindi Medium Exercise 2.3
प्रश्न 1. विभाजन एल्गोरिथम का प्रयोग करके, निम्न में p(x)को g(x)से भाग देने पर भागफल तथा शेषफल ज्ञात कीजिए :
(i) p(x) = x3 – 3x2 + 5x – 3, g(x) = x2 – 2
(ii) p(x) = x4 – 3x2 + 4x + 5, g(x) = x2 + 1 – x
(iii) p(x) = x4 – 5x + 6, g(x) = 2 – x2
Solution
(i) p(x) = x3 – 3x2 + 5x – 3, g(x) = x2 – 2
भागफल q(x) = x - 3और
शेषफल = 7x - 9
(ii) p(x) = x4 – 3x2 + 4x + 5, g(x) = x2 + 1 – x
भागफल q(x) = x2 + x - 3और
शेषफल = 8
(iii) p(x) = x4 – 5x + 6, g(x) = 2 – x2
भागफल q(x) = - x2 - 2और
शेषफल = -5x + 10
प्रश्न 2. पहले बहुपद से दुसरे बहुपद को भाग करके, जाँच कीजिए कि क्या प्रथम बहुपद द्वितीय का एक गुणनखंड है :
(i) t2 – 3, 2t4 + 3t3 – 2t2 – 9t – 12
(ii) x2 + 3x + 1, 3x4 + 5x3 – 7x2 + 2x + 2
(iii) x3 – 3x + 1, x5 – 4x3 + x2 + 3x + 1
Solution
(i) t2 – 3, 2t4 + 3t3 – 2t2 – 9t – 12
चूँकि शेषफल r(x) = 0है |
अत: 2t4 + 3t3 – 2t2 – 9t – 12का एक गुणनखंड t2 – 3 है |
(ii) x2 + 3x + 1, 3x4 + 5x3 – 7x2 + 2x + 2
चूँकि शेषफल r(x) = 0है |
अत: 3x4 + 5x3 – 7x2 + 2x + 2का एक गुणनखंड x2 + 3x + 1है |
(iii) x3 – 3x + 1, x5 – 4x3 + x2 + 3x + 1
चूँकि शेषफल r(x) = 2है |
अत: x5 – 4x3 + x2 + 3x + 1का एक गुणनखंड x3 – 3x + 1नहीं है |
प्रश्न 3. 3x4 + 6x3 - 2x3 - 10x - 5के अन्य शून्यक ज्ञात कीजिए, यदि इसके दो शून्यक √5/3 और -√5/3 हैं |
Solution
दिया गया है : p(x) = 3x4 + 6x3 - 2x2 - 10x - 5
इसलिए 3x4 + 6, p(x) का एक गुणनखंड है |
अब 3x2 - 5से 3x4 + 6x3 - 2x2 - 10x - 5में भाग देने पर
अत: p(x) = (3x2 - 5) (x2 + 2x + 1)
अब, x2 + 2x + 1को गुणनखंड कर शुन्यक ज्ञात करने पर,
x2 + x + x + 1 = 0
⇒ x(x + 1) + 1(x + 1) = 0
⇒ (x + 1) (x + 1) = 0
⇒ x + 1 = 0, x + 1 = 0
⇒ x = -1, x = -1
प्रश्न 4. यदि x3 - 3x2 + x + 2को एक बहुपद g(x)से भाग देने पर, भागफल और शेषफल क्रमश: x - 2और - 2x + 4हैं तो g(x) ज्ञात कीजिए ।
Solution
दिया है : भाज्य p(x) = x3 - 3x2 + x + 2
भागफल q(x) = x - 2,
शेषफल r(x) = - 2x + 4
भाजक g(x) = ?
भाज्य = भाजक × भागफल + शेषफल
p(x) = g(x) × q(x) + r(x)
x3 - 3x2 + x + 2 = g(x) (x - 2) + (- 2x + 4)
⇒ x3 - 3x2 + x + 2 + 2x - 4 = g(x) (x - 2)
⇒ g(x) (x - 2) = x3 - 3x2 + 3x - 2
अत: भाजक g(x) = x2 - x + 1 है |
प्रश्न 5. बहुपदों p(x), g(x), q(x)और r(x) के ऐसे उदाहरण दीजिए जो विभाजन एल्गोरिथम को संतुष्ट करते हों तथा
(i) घात p(x) = घात q(x)हो
(ii) घात q(x) = घात r(x)हो
(iii) घात r(x) = 0हो
Solution
युक्लिड विभाजन एल्गोरिथम से,
p(x) = g(x) × q(x) + r(x)जहाँ q(x) ≠ 0 हो
(i) घात p(x) = घात q(x) हो
भाज्य p(x)और भागफल q(x)की घात सामान तभी हो सकता है जब भाजक g(x)की घात 0अर्थात कोई संख्या हो|
उदाहरण: माना p(x) = 2x2 - 6x + 3 और माना g(x) = 2
भाग देने पर,
p(x) = 2x2 - 6x + 2 + 1
= 2(x2 - 3x + 1) + 1
अब 2(x2 - 3x + 1) + 1को p(x) = g(x) × q(x) + r(x)से तुलना करने पर हम पाते हैं :
अत: q(x) = x2 - 3x + 1और r(x) = 1
इससे घात p(x) = घात q(x)प्राप्त होता है |
(ii) घात q(x) = घात r(x) हो
यह स्थिति तब आती है जब p(x)और g(x)का घात सामान हो जैसे -
माना p(x) = 2x2 + 6x + 7और g(x) = x2 + 3x + 2
भाग देने पर: q(x) = 2 और r(x) = 3
अत: घात q(x) = घात r(x)है |
(iii) घात r(x) = 0 हो
r(x) = 0तब होता है जब p(x), g(x)से पूर्णत: विभाजित हो :
माना p(x) = x2 - 1और g(x) = x + 1
विभाजित करने पर,
q(x) = x - 1और r(x) = 0प्राप्त होता है |