पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन Ganit NCERT Solutions in Hindi Medium Exercise 13.3

जब तक अन्यथा नहीं कहा जाए π = 22/7 का प्रयोग कीजिए |

प्रश्न 1. त्रिज्या 4.2 सेमी वाले धातु के एक गोले को पिघलाकर त्रिज्या 6 सेमी वाले एक बेलन के रूप में ढाला जाता है | बेलन की ऊँचाई ज्ञात कीजिए |

Solution

दिया है, धातु के गोले की त्रिज्या (r) = 4.2 सेमी

बेलन की त्रिज्या (r₁) = 6 सेमी

माना बेलन की ऊँचाई = h सेमी

तब, बेलन का आयतन = 𝜋r₁²h

= 22/7 × 6 × 6 × h

प्रश्नानुसार, धातु के गोले को पिघलाकर बेलन बनाया गया है।

∴ गोले का आयतन = बेलन का आयतन

प्रश्न 2. क्रमशः 6 सेमी, 8 सेमी और 10 सेमी त्रिज्याओं वाले धातु के ठोस गोलों को पिघलाकर एक बड़ा ठोस गोला बनाया जाता है | इस गोले की त्रिज्या ज्ञात कीजिए |

Solution

दिया है, धातु के तीन ठोस गोलों की त्रिज्याएँ क्रमशः r₁ = 6 सेमी, r₂ = 8 सेमी तथा r₃ = 10 सेमी

प्रश्नानुसार,

∵ धातु के तीन ठोस गोलों को पिघलाकर एक बड़ा ठोस गोला बनाया गया है। तब,

माना बड़े गोले की त्रिज्या R है।

बड़े गोले का आयतन = धातु के तीनों ठोस गोलों का आयतन

अतः बड़े गोले की त्रिज्या = 12 सेमी

प्रश्न 3. व्यास 7 मी वाला 20 मी गहरा एक कुआँ खोदा जाता है और खोदने से निकली हुई मिट्टी को समान रूप से फैलाकर 22 मी × 14 मी वाला एक चबूतरा बनाया गया है | इस चबूतरे की ऊँचाई ज्ञात कीजिए |

Solution

दिया है, कुएँ की गहराई (जो बेलन के रूप में है) (h₁) = 20 मी

कुएँ की त्रिज्या, r₁ = 7/2 मी

चबूतरे की लंबाई, 1 = 22 मी

चबूतरे की चौड़ाई, b = 14 मी

चबूतरे की ऊँचाई = h₂

माना प्रश्नानुसार,

कुएँ का आयतन = चबूतरे का आयतन (घनाभ)

𝜋r₁²h₁ = l × b × h₂

अतः चबूतरे की ऊँचाई = 2.5 मी

प्रश्न 4. व्यास 3 मी वाला 14 मी गहरा की गहराई तक खोदा जाता है | इससे निकली हुई मिट्टी को कुँए के चारों ओर 4 मी चौड़ी एक वृत्ताकार वलय (ring) बनाते हुए, समान रूप से फैलाकर एक प्रकार का बाँध बनाया जाता है | इस बाँध की ऊँचाई ज्ञात कीजिए |

Solution

कुएँ की गहराई (जो बेलन के रूप में है ) (h₁) = 14 मी

और कुएँ की त्रिज्या (r₁) = 3/2 मी

माना चबूतरे (वृत्ताकार वलय) की चौड़ाई और ऊँचाई क्रमश: d और h₂ है।

यहाँ, d = 4 मी

अब, कुएँ (बेलन) का आयतन = 𝜋r₁²h

∵ कुएँ से खोदी गई मिट्टी को (वृत्ताकार वलय) चारों और फैलाया गया है।

∴ चबूतरे (खोखले बेलन) का आयतन = 𝜋(r₁ + d)² .h₂ - 𝜋r₁²h₂

प्रश्नानुसार, कुएँ का आयतन = चबूतरे का आयतन

99 = 88 h₂

⇒ h₂ = 99/88 = 1.125 मी

अतः चबूतरे की ऊँचाई = 1.125 मी

प्रश्न 5. व्यास 12 सेमी और ऊँचाई 15 सेमी वाले एक लंब वृत्तीय बेलन के आकार का बर्तन आइसक्रीम से पूरा भरा हुआ है | इस आइसक्रीम को ऊँचाई 12 सेमी और व्यास 6 सेमी वाले शकुओं में भरा जाना है, जिनका ऊपरी सिरा अर्धगोलाकार होगा | उन शंकुओं की संख्या ज्ञात कीजिए जो इस आइसक्रीम से भरे जा सकते हैं |

Solution

माना आइसक्रीम के बर्तन (बेलनाकार) की ऊँचाई h₁ व त्रिज्या r₁ है।

दिया है, h = 15 सेमी और व्यास =  12 सेमी

r₁ = 12/2 = 6 सेमी

∴ आइसक्रीम बर्तन (बेलनाकार) का आयतन = 𝜋r₁²h₁

अब, आइसक्रीम से भरे शंकु का ऊपरी सिरा अर्द्धगोलाकार है।

दिया है, शंकु की ऊँचाई, h₂ = 12 सेमी

शंकु का व्यास = 6 सेमी

∴ शंकु की त्रिज्या, h₂ = 6/2 = 3 सेमी = अर्द्धगोले की त्रिज्या

∴ आइसक्रीम से भरे शंकु का आयतन = शंकु का आयतन + अद्धगोले (ऊपरी सतह) का आयतन

माना आइसक्रीम से भरे शंकुओं की संख्या n है।

अतः शंकुओं की संख्या = 10