वृतों से सम्बंधित क्षेत्रफल Ganit NCERT Solutions in Hindi Medium Exercise 12.2

प्रश्न 1. 6 सेमी त्रिज्या वाले एक वृत्त के एक त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जिसका कोण 60^o है |

Solution

 दिया है,

वृत्त की त्रिज्या = 6 सेमी

θ = 60°

हम जानते हैं कि,

प्रश्न 2. एक वृत्त, के चतुर्थांश का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जिसकी परिधि 22 सेमी है |

Solution

वृत्त की परिधि = 22 सेमी (दिया है)

प्रश्न 3. एक घड़ी की मिनट की सुई जिसकी लंबाई 14 सेमी है | इस सुई द्वारा 5 मिनट में रचित क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए |

Solution

दिया है, घड़ी की मिनट की सुई की लंबाई = 14 सेमी 

इसका अर्थ है कि वृत्त की त्रिज्या = 14 सेमी

∵ 30 मिनट में, मिनट की सुई द्वारा घूमा कोण = 180°

∴ 1 मिनट में, मिनट की सुई द्वारा घूमा कोण = 180°/30 = 6°

∴ 5 मिनट में, मिनट की सुई द्वारा घूमा कोण = 6° × 5 = 30°

.: सुई द्वारा 5 मिनट में रचित क्षेत्रफल = वृत्त के त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल

प्रश्न 4. 10 सेमी त्रिज्या वाले एक वृत्त की कोई जीवा केंद्र पर समकोण अंतरित करती है | निम्नलिखित के क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए:

(i) संगत लघु वृत्तखंड

(ii) संगत दीर्घ त्रिज्यखंड

(π = 3.14 का प्रयोग कीजिए)

Solution

दिया है, वृत की त्रिज्या OA = 10 सेमी

वृत्त के केंद्र से वृत्त की जीवा पर लंब खींचते हैं, जो जीवा को समद्विभाजित करता है।

∴ AD = DC

और ∠AOD = ∠COD = 45°

∴ ∠AOC = ∠AOD + ∠COD

= 45° + 45° = 90°

समकोण ∆AOD में,

(i) संगत लघु वृत्तखंड AEC का क्षेत्रफल = त्रिज्यखंड OAEC का क्षेत्रफल - ∆AOC का क्षेत्रफल

= 78.5 – 50 = 28.5 सेमी²

(ii) संगत दीर्घ त्रिज्यखंड OAFGCO का क्षेत्रफल

= वृत्त का क्षेत्रफल - त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल

= πr² - 78.5

= 3.14(10)² - 78.5

= 314 - 78.5

= 235.5 सेमी²

प्रश्न 5. त्रिज्या 21 सेमी वाले वृत्त का एक चाप केंद्र पर 60^o का कोण अंतरित करता है | ज्ञात कीजिए :

(i) चाप की लंबाई 

(ii) चाप द्वारा बनाए गए त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल 

(iii) संगत जीवा द्वारा बनाए गए वृत्तखंड का क्षेत्रफल 

 Solution

∵ चाप ABC वृत्त के केंद्र पर 60° का कोण आंतरित करता है।

∴ θ = 60°

और, त्रिज्या = 21 सेमी

(iii) अब, जीवा पर वृत्त के केंद्र से लंब खींचते हैं

∴ AD = DC

और ∠AOD = ∠DOC = 30°

समकोण AAOD में,

∴ वृत्तखंड का क्षेत्रफल = चाप द्वारा बने त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल - ΔOAC का क्षेत्रफल

= 231 - 110.25√3

= 231 - 110.25 × 1.73

= 231 - 190.73

= 40.27 सेमी²

प्रश्न 6. 15 सेमी त्रिज्या वाले एक वृत्त की कोई जीवा केंद्र पर 60^o का कोण अंतरित करती है | और दीर्घ वृत्तखंड़ों के क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए ।

(π = 3.14 और √3 = 1.73 का प्रयोग कीजिए)

Solution

∵ जीवा AB वृत्त के केंद्र पर 60° का कोण आंतरित करता है।

∴ ∠AOB = 60°

OD ⊥ AB खींचिए और लंब OD, AB को समद्विभाजित करता है।

AD = DB

∴ ∠AOD = ∠BOD = 30°

समकोण ∆AOD में,

∴ लघु वृत्तखंड ACBDA का क्षेत्रफल = त्रिज्यखंड OACBO का क्षेत्रफल - ∆AOB का क्षेत्रफल

= 117.75 - 97.3125

= 20.4375 सेमी²

अब,

दीर्घ वृत्तखंड का क्षेत्रफल = वृत्त का क्षेत्रफल - लघु वृत्तखंड का क्षेत्रफल

= πr² - 20.4375

=  = 3.14×(15)² -20.4375

= 3.14×225 - 20.4375

= 706.5 - 20.4375

= 686.0625 सेमी²

प्रश्न 7. त्रिज्या 12 सेमी वाले एक वृत्त की कोई जीवा केंद्र पर 120^o का कोण अंतरित करती है | संगत वृत्तखंड़ का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए |

(π = 3.14 और √3 = 1.73 का प्रयोग कीजिए)

Solution

दिया है, जीवा AB वृत्त के केंद्र पर का कोण आन्तरित करती |

∴ ∠AOB = 120°

OD ⊥ AB खींचिए और लंब OD, AB को समद्विभाजित करता है |

वृत्त की त्रिज्या, r = 12 सेमी

समकोण ∆AOD में,

∴ संगत वृत्तखंड का क्षेत्रफल = त्रिज्यखंड OACBO का क्षेत्रफल - ΔAOB का क्षेत्रफल

= 150.72 – 62.352 = 88.368 सेमी²

प्रश्न 8. 15 मी भुजा वाले एक वर्गाकार घास के मैदान के एक कोने पर लगे खूँटे से एक घोड़े को 5 मी लंबी रस्सी से बाँध दिया गया है ( देखिए आकृति 12.11) | ज्ञात कीजिए : 

(i) मैदान के उस भाग का क्षेत्रफल जहाँ घोडा चार सकता है |

(ii) चरे जा सकने वाले क्षेत्रफल में वृद्धि, यदि घोड़े को 5 मी लंबी रस्सी के स्थान पर 10 मी लंबी रस्सी से बाँध दिया जाए | (π = 3.14 का प्रयोग कीजिए )

Solution

दिया है, वर्ग की भुजा = 15 मी

∴ वर्ग का क्षेत्रफल = (15)² = 225 मी²

रस्सी की लंबाई = 5 मी

चाप की त्रिज्या = 5 मी

वर्ग की दो संलग्न भुजाओं के बीच का कोण = 90°

(i) घोड़े द्वारा चरे गए मैदान का क्षेत्रफल A₁ = त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल

(ii) यदि रस्सी की लंबाई = 10मी = r₁ (माना)

(iii) चरने वाले भाग से अभीष्ट वृद्धि = A₂ - A₁

= 78.5 - 19.625

= 58.875 सेमी²

प्रश्न 9. एक वृताकार ब्रुच (brooch) को चाँदी के तार से बनाया जाना है जिसका व्यास 35 मीमी है | तार को वृत्त के 5 व्यासों को बनाने में भी प्रयुक्त किया गया है जो उसे 10 बराबर त्रिज्यखंडों में विभाजित करता है जैसाकि आकृति 12.12 में दर्शाया गया है | तो ज्ञात कीजिए : 

(i) कुल वांछित चाँदी के तार की लंबाई

(ii) ब्रूच के प्रत्येक त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल 

Solution

दिया है, वृत्ताकार ब्रूच का व्यास = 35 मिमी

∴ त्रिज्या = 35/2 मिमी

∴ वृत्त की परिधि = 𝜋d = 22/7 × 35 = 110 मिमी

अब, 5 व्यासों की लंबाई = 110 × 5 = 550 मिमी

(i) कुल अभीष्ट चाँदी के तार की लंबाई = 𝜋d + 5d = 110 + 5×35

= 110 + 175 = 285 मिमी

(ii) यहाँ, वृत्त को 10 त्रिज्यखंडों में विभाजित किया गया है।

प्रश्न 10. एक छतरी में आठ ताने हैं, जो बराबर दूरी पर लगे हुए हैं (देखिए आकृति 12.13)| छतरी को 45 सेमी त्रिज्या वाला एक सपाट वृत्त मानते हुए, इसकी दो क्रमागत तानों के बीच का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए |

Solution

छतरी का केंद्रीय कोण = 360°

∵ छतरी में आठ ताने हैं |

∴ दो तानों के बीच कोण = 360°/8 = 45°

त्रिज्या = 45 सेमी

∴ दो तानों के बीच क्षेत्रफल = छतरी के एक त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल

प्रश्न 11. किसी कार के दो वाइपर (wipers) हैं, परस्पर कभी आच्छादित नहीं होते हैं | प्रत्येक वाइपर की पट्टी की लंबाई 25 सेमी है और 115^o के कोण तक घूम कर सफाई कर सकता है | पट्टियों की प्रत्येक बुहार के साथ जितना क्षेत्रफल साफ़ हो जाता है, वह ज्ञात कीजिए ।

Solution

वाइपर की पत्ती (blade) की लंबाई = 25 सेमी = r (माना)

पत्ती द्वारा बना कोण θ = 115°

∴ पत्ती द्वारा साफ किया गया क्षेत्रफल = पत्ती द्वारा बने त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल

∴ दोनों पत्तियों (blades ) द्वारा साफ किया गया क्षेत्रफल

= 2 × एक पत्ती द्वारा साफ किया गया क्षेत्रफल

प्रश्न 12. जहाजों को समुद्र में जलस्तर के नीचे स्थित चट्टानों की चेतावनी देने के लिए, एक लाइट हाउस (light house) 80^o कोण वाले एक त्रिज्यखंड में 16.5 km की दूरी तक लाल रंग का प्रकाश फैलाता है | समुद्र के उस भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसमें जहाजों को चेतावनी दी जा सके । (π = 3.14 का प्रयोग कीजिए)

Solution

दिया है, त्रिज्यखंड का कोण θ = 80°

और दूरी या त्रिज्या = 16.5 किमी

जोकि अभीष्ट क्षेत्रफल है, जिसमें जहाजों को चेतावनी दी जा सके।

प्रश्न 13. एक गोल मेज़पोश पर छः समान डिज़ाइन बने हुए हैं जैसाकि आकृति 12.14 में दर्शाया गया है । यदि मेज़पोश की त्रिज्या 28 सेमी है, तो 0.35 रू. प्रति वर्ग सेंटीमीटर की दर से इन डिजाइनों को बनाने की लागत ज्ञात कीजिए ।(√3 = 1.7 का प्रयोग कीजिए)

Solution

∵ वृत्त का केंद्रीय कोण = 360°

∴ प्रत्येक त्रिज्यखंड का कोण = 360°/6 = 60°

अब, हम वृत्त के एक वृत्तखंड का क्षेत्रफल ज्ञात करते हैं।

यहाँ, AC वृत्त की जीवा है। OD ⊥ AC खींचिए जो जीवा AC को समद्विभाजित करता है।

इस प्रकार, AB = BC

∴ ∠COB = ∠AOB = 30°

समकोण ΔOCD में,

∴ वृत्तखंड ABCA का क्षेत्रफल = त्रिज्यखंड OABCD का क्षेत्रफल - ∆AOC का क्षेत्रफल

= 410.67 – 333.2

= 77.47 सेमी²

∴ छः वृत्तखंडों का क्षेत्रफल = 6 × 77.47 = 464.82 सेमी²

अतः ₹0.35 प्रति वर्ग सेमी की दर से डिजाइनों को बनाने की लागत

= 464.82 × 0.35

= ₹162.68

प्रश्न 14. निम्नलिखित में सही उत्तर चुनिए :

त्रिज्या R वाले के उस त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल जिसका कोण p^o है, निम्नलिखित है :

(d) दिया है, e = p°, r = R_p