Class 10 Maths Chapter 4 Quadratic Equations Exercise 4.2 NCERT Solutions in Hindi Medium
द्विघात समीकरण Ganit NCERT Solutions in Hindi Medium Exercise 4.2
प्रश्न 1. गुणनखंड विधि से निम्न द्विघात समीकरणों के मूल ज्ञात कीजिए :
(i) x2 - 3x - 10 = 0
(ii) 2x2 + x - 6 = 0
(iii) √2x2 + 7x + 5√2 = 0
(iv) 2x2 - x + 1/8 = 0
(v) 100x2 - 20x + 1 = 0
Solution
(i) x2 - 3x - 10 = 0
⇒ x2 - 5x + 3x - 10 = 0
⇒ x(x - 5) + 2(x - 5) = 0
⇒ (x - 5) (x + 2) = 0
अब, x - 5 = 0 ⇒ x = 5
तथा, x + 2 = 0 ⇒ x = -2
अतः दिए गए समीकरण के मूल 5 और -2 हैं |
(ii) 2x2 + x - 6 = 0
⇒ 2x2 + 4x - 3x - 6 = 0
⇒ x(x + 2) - 3(x + 2) = 0
⇒ (x + 2) (x - 3) = 0
अब, x + 2= 0 ⇒ x = -2
तथा, x - 3 = 0 ⇒ x = 3
(iii) √2x2 + 7x + 5√2 = 0
(iv) दिया गया है,
दोनों पक्षों में 8 से गुणा करने पर,
(v) 100x2 - 20x + 1 = 0
⇒ 100x2 - 10x - 10x + 1 = 0
⇒ 10x(10x - 1) -1(10x - 1) = 0
⇒ (10x - 1)(10x - 1) = 0
प्रश्न 2. उदाहरण 1 में दी गई समस्याओं को हल कीजिए|
(i) x2 - 45x + 324 = 0
(ii) x2 - 55x + 750 = 0
Solution
(i) x2 - 45x + 324 = 0
⇒ x2 - (36x + 9x) + 324 = 0
⇒ x2 - 36x - 9x + 324 = 0
⇒ x(x - 36) - 9(x - 36) = 0
⇒ (x - 36) (x - 9) = 0
अब, x - 36 = 0 ⇒ x = 36
तथा, x - 9 ⇒ x = 9
अतः दिए गए समीकरण के मूल 36 और 9 हैं |
(ii) x2 - 55x + 750 = 0
⇒ x2 - (30x + 25x) + 750 = 0
⇒ x2 - 30x - 25x + 750 = 0
⇒ x(x - 30) - 25(x - 30)= 0
⇒ (x - 30) (x - 25) = 0
अब, x - 30 = 0 ⇒ x = 30
तथा, x - 25 ⇒ x = 25
अतः दिए गए समीकरण के मूल 30 और 25 हैं |
प्रश्न 3. ऐसी दो संख्याएँ ज्ञात कीजिए, जिनका योग 27 हो और गुणनफल 182 हो |
Solution
संख्याओं का योग = 27
संख्याओं का गुणनफल = 182
माना पहली संख्या = x
दूसरी संख्या = 27 - x
दोनों संख्या का गुणनफल = 182
x(27 - x) = 182
⇒ 27x - x2 = 182
⇒ -x2 + 27x - 182= 0
⇒ x2 - 27x+ 182 = 0
⇒ x2 - 14x - 13x+ 182 = 0
⇒ x(x - 14 ) - 13(x - 14) = 0
⇒ (x - 14)(x - 13) = 0
अब, x - 14 = 0 ⇒ x = 14
तथा, x - 13 ⇒ x = 13
पहली संख्या = x = 13
दूसरी संख्या = 27 - x = 27 - 13 = 14
प्रश्न 4. दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांक ज्ञात कीजिए जिनके वर्गों का योग 365 हो |
Solution
दो क्रमागत धनात्मक पूर्णाकों का गुणनफल = 306
माना पहला धनात्मक पूर्णाक = x
दूसरा धनात्मक पूर्णाक = x + 1
दोनों क्रमागत संख्या के वर्गों का योग = 365
(x)2 + (x + 1)2 = 365
⇒ x2 + x2 + 2x + 1 = 365
⇒ 2x2 + 2x + 1 = 365
⇒ 2x2+ 2x + 1 - 365 = 0
⇒ 2x2+ 2x + 1 - 365 = 0
⇒ 2x2+ 2x - 364 = 0
⇒ 2(x2+ x - 182) = 0
⇒ x2+ x - 182 = 0/2
⇒ x2+ x - 182 = 0
⇒ x2+ 14x - 13x - 182 = 0
⇒ x(x + 14) - 13(x +14) = 0
⇒ (x + 14) (x - 13) = 0
अब, x + 14 = 0 ⇒ x = - 14
तथा x - 13 = 0 ⇒ x = 13
दूसरा धनात्मक पूर्णाक = x + 1 = 13 + 1 = 14
प्रश्न 5. एक समकोण त्रिभुज की ऊँचाई इसके आधार से 7 cm कम है | यदि कर्ण 13 cm का हो, तो अन्य दो भुजाएँ ज्ञात कीजिए |
Solution
समकोण त्रिभुज का आधार = x cm
समकोण त्रिभुज की ऊँचाई = x - 7cm
समकोण त्रिभुज में कर्ण = 13 cm
पाईथागोरस प्रमेय के प्रयोग से
(कर्ण)2 = (ऊँचाई)2 + (आधार)2
AC2 = AB2 + BC)2
⇒ (13)2 = (x - 7)2 + (x)2
⇒ 169 = x2 - 14x + 49 + x2
⇒ 169 - 49= 2x2 - 14x
⇒ 120 = 2(x2 - 7x)
⇒ x2 - 7x = 2/120
⇒ x2- 7x - 60 = 0
⇒ x2- 12x + 5x - 60 = 0
⇒ x(x - 12) + 5(x -12) = 0
⇒ (x - 12) (x + 5) = 0
अब, x - 12 = 0 ⇒ x = 12
तथा x + 5 = 0 ⇒ x = -5
समकोण त्रिभुज का आधार = x cm = 12 cm
समकोण त्रिभुज की ऊँचाई = x - 7 cm = 12 - 7 = 5 cm
प्रश्न 6. एक कुटीर उधोग एक दिन में कुछ बर्तनों का निर्माण करता है | एक विशेष दिन यह देखा गया की प्रत्येक नाग की निर्माण लागत (रुपयों में) उस दिन के निर्माण किए बर्तनों की संख्या के दुगुने से 3 अधिक थी | यदि उस दिन की कुल निर्माण लागत 90 रूपए थी, तो निर्मित बर्तनों की संख्या और प्रत्येक नाग की लागत ज्ञात कीजिए |
Solution
माना उस दिन निर्मित बर्तनों की संख्या = x
प्रत्येक नाग की निर्माण लागत = 2x + 3
उस दिन की कुल निर्माण लागत = 90 रुपये
x(2x + 3) = 90
⇒ 2x2 + 3x = 9
⇒ 2x2 + 3x - 90 = 0
⇒ 2x2 + 15x - 12x- 90 = 0
⇒ x(2x + 15) - 6(2x + 15) = 0
⇒ (2x + 15)(x - 6) = 0
अब, 2x + 15 = 0 ⇒ x = -15/2
तथा x - 6 = 0 ⇒ x = 6
लेकिन x ऋणात्मक नहीं हो सकता है इसलिए, x = 6
उस दिन प्रत्येक निर्मित बर्तनों का लागत = 2x + 3
= 2×6 + 3
= 12 + 3
= 15 रूपये